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行測輔導(dǎo):數(shù)字的整除特性
1.我們已學(xué)過奇數(shù)與偶數(shù),我們正是以能否被2整除來區(qū)分偶數(shù)與奇數(shù)的。因此,有下面的結(jié)論:末位數(shù)字為0、2、4、6、8的整數(shù)都能被2整除。偶數(shù)總可表為2k,奇數(shù)總可表為2k+1(其中k為整數(shù))。
2.末位數(shù)字為零的整數(shù)必被10整除。這種數(shù)總可表為10k(其中k為整數(shù))。
3.末位數(shù)字為0或5的整數(shù)必被5整除,可表為5k(k為整數(shù))。
4.末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)能被4(25)整除的整數(shù)必被4(25)整除。
如1996=1900+96,因?yàn)?SPAN lang=EN-US>100是4和25的倍數(shù),所以1900是4和25的倍數(shù),只要考察96是否4或25的倍數(shù)即可。
能被25整除的整數(shù),末兩位數(shù)只可能是00、25、50、75。能被4整除的整數(shù),末兩位數(shù)只可能是00,04,08,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,92,96,不可能是其它的數(shù)。
5.末三位數(shù)字組成的三位數(shù)能被8(125)整除的整數(shù)必能被8(125)整除。
由于1000=8×125,因此,1000的倍數(shù)當(dāng)然也是8和125的倍數(shù)。
如判斷765432是否能被8整除。
因?yàn)?SPAN lang=EN-US>765432=765000+432
顯然8|765000,故只要考察8是否整除432即可。由于432=8×54,即432能被8整除,所以765432能8被整除。
能被8整除的整數(shù),末三位只能是000,008,016,024,…984,992。
由于125×1=125,125×2=250,125×3=375;
125×4=500,125×5=625;125×6=750;
125×7=875;125×8=10000
故能被125整除的整數(shù),末三位數(shù)只能是000,125,250,375,500,625,750, 875。
6.各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被3(9)整除的整數(shù)必能被3(9)整除。
如478323是否能被3(9)整除?
由于478323=4×100000+7×10000+8×1000+3×100+2×10+3
=4×(99999+1)+7(9999+1)+8×(999+1)+3×(99+1)+2×(9+1)+3?。剑?SPAN lang=EN-US>4×99999+7×9999+8×999+3×99+2×9)+(4+7+8+3+2+3)
前一括號(hào)里的各項(xiàng)都是3(9)的倍數(shù),因此,判斷478323是否能被3(9)整除,只要考察第二括號(hào)的各數(shù)之和(4+7+8+3+2+3)能否被3(9)整除。而第二括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和,恰好是原數(shù)478323各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和。
∵4+7+8+3+2+3=27是3(9)的倍數(shù),故知478323是3(9)的倍數(shù)。
在實(shí)際考察4+7+8+3+2+3是否被3(9)整除時(shí),總可將3(9)的倍數(shù)劃掉不予考慮。
即考慮被3整除時(shí),劃去7、2、3、3,只看4+8,考慮被9整除時(shí),由于7+2=9,故可直接劃去7、2,只考慮4+8+3+3即可。
如考察9876543被9除時(shí)是否整除,可以只考察數(shù)字和(9+8+7+6+5+4+3)是否被9整除,還可劃去9、5+4、6+3,即只考察8
如問3是否整除9876543,則先可將9、6、3劃去,再考慮其他數(shù)位上數(shù)字之和。由于3整除(8+7+5+4),故有3整除9876543。
實(shí)際上,一個(gè)整數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和被3(9)除所得的余數(shù),就是這個(gè)整數(shù)被3(9)除所得的余數(shù)。
7.一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差如果是11的倍數(shù),那么這個(gè)整數(shù)也是11的倍數(shù)。(一個(gè)整數(shù)的個(gè)位、百位、萬位、…稱為奇數(shù)位,十位、千位、百萬位……稱為偶數(shù)位。)
如判斷42559能否被11整除。
42559=4×10000+2×1000+5×100+5×10+9
=4×(9999+1)+2×(1001-1)+5(99+1)
+5×(11-1)+9
=(4×9999+2×1001+5×99+5×11)+(4-2+5-5+9)
=11×(4×909+2×91+5×9+5)+(4-2+5-5+9)
前一部分顯然是11的倍數(shù)。因此判斷42559是否11的倍數(shù)只要看后一部分4-2+5-5+9是否為11的倍數(shù)。
而4-2+5-5+9=(4+5+9)-(2+5)恰為奇數(shù)位上數(shù)字之和減去偶數(shù)位上數(shù)字之和的差。
由于(4+5+9)-(2+5)=11是11的倍數(shù),故42559是11的倍數(shù)。
現(xiàn)在要判斷7295871是否為11的倍數(shù),只須直接計(jì)算(1+8+9+7)-(7+5+2)是否為11的倍數(shù)即可。由25-14=11知(1+8+9+7)-(7+5+2)是1的倍數(shù),故11|7295871。
上面所舉的例子,是奇數(shù)位數(shù)字和大于偶數(shù)位數(shù)字和的情形。如果奇數(shù)位數(shù)字和小于偶數(shù)位數(shù)字和(即我們平時(shí)認(rèn)為“不夠減”),那么該怎么辦呢?
如867493的奇數(shù)位數(shù)字和為3+4+6,而偶數(shù)位數(shù)字和為9+7+8。顯然3+4+6小于9+7+8,即13小于24。
遇到這種情況,可在13-24這種式子后面依次加上11,直至“夠減”為止。
由于13-24+11=0,恰為11的倍數(shù),所以知道867493必是11的倍數(shù)。
又如738292的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為
(2+2+3)-(9+8+7)=7-24
7-24+11+11=5(加了兩次11使“夠減”)。由于5不能被11整除,故可立即判斷738292不能被11整除。
實(shí)際上,一個(gè)整數(shù)被11除所得的余數(shù),即是這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差被11除所得的余數(shù)(不夠減時(shí)依次加11直至夠減為止)。
同學(xué)們還會(huì)發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)一定能被11整除。
如186這個(gè)三位數(shù),連寫兩次成為六位數(shù)186186。由于這個(gè)六位數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和為6+1+8,偶數(shù)位數(shù)字和為8+6+1,它們的差恰好為零,故186186是11的倍數(shù)。數(shù)位數(shù)字和為c+a+b,偶數(shù)位數(shù)字和為b+c+a,它們的差恰為零,
象這樣由三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)是否能被7整除呢?
如186186被7試除后商為26598,余數(shù)為零,即7|186186。能否不做186186÷7,而有較簡單的判斷辦法呢?
由于186186=186000+186
=186×1000+186
=186×1001
而1001=7×11×13,所以186186一定能被7整除。
這就啟發(fā)我們考慮,由于7×11×13=1001,故若一個(gè)數(shù)被1001整除,則這個(gè)數(shù)必被7整除,也被11和13整除。
或?qū)⒁粋€(gè)數(shù)分為兩部分的和或差,如果其中一部分為1001的倍數(shù),另一部分為7(11或13)的倍數(shù),那么原數(shù)也一定是7(11或13)的倍數(shù)。
如判斷2839704是否是7的倍數(shù)?
由于2839704=2839000+704
=2839×1000+704
=2839×1001-2839+704
=2839×1001-(2839-704)
∵2839-704=2135是7的倍數(shù),所以2839704也是7的倍數(shù);2135不是11(13)的倍數(shù),所以2839704也不是11(13)的倍數(shù)。
實(shí)際上,對(duì)于283904這樣一個(gè)七位數(shù),要判斷它是否為7(11或13)的倍數(shù),只需將它分為2839和704兩個(gè)數(shù),看它們的差是否被7(11或13)整除即可。
又如判斷42952是否被13整除,可將42952分為42和952兩個(gè)數(shù),只要看952-42=910是否被13整除即可。由于910=13×70,所以13整除910,
8.一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7(11或13)整除,只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差(以大減小)能否被7(11或13)整除。
另法:將一個(gè)多位數(shù)從后往前三位一組進(jìn)行分段。奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差若被7(11或13)整除,則原多位數(shù)也被7(11或13)整除。
如3546725可分為3,546,725三段。奇數(shù)段的和為725+3=728,偶數(shù)段為546,二者的差為
728-546=182=7×26=7×2×13