南方公務(wù)員考試研究中心
行測備考多種數(shù)列遞推規(guī)律
遞推數(shù)列是數(shù)列推理中較為復(fù)雜的一類數(shù)列。其推理規(guī)律變化多樣，使得很多考生不易察覺和掌握。要想掌握遞推數(shù)列的解題方法，需要從兩個方面入手。一是要清楚遞推數(shù)列的“鼻祖”，即最典型、最基礎(chǔ)的遞推數(shù)列;二是要明確遞推規(guī)律的變化方式。
(一)遞推數(shù)列的“鼻祖”
1，1，2，3，5，8，13，21……
寫出這個數(shù)列之后，有不少考生似曾相識。其中有一些考生知道，這個數(shù)列被稱為“斐波那契(Febonacci，原名Leonardo，12-13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家)數(shù)列”或者“兔子數(shù)列”。這些考生中還有一些人知道這個數(shù)列的遞推規(guī)律為：從第三項開始，每一項等于它之前兩項的和，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為
這個遞推規(guī)律是整個數(shù)列推理中遞推數(shù)列的基礎(chǔ)所在。在公務(wù)員考試中，曾經(jīng)出現(xiàn)過直接應(yīng)用這個規(guī)律遞推的數(shù)列。
例題1：(2002年國家公務(wù)員考試A類第4題)1，3，4，7，11，( )
A.14 B.16 C.18 D.20
【答案】：C。
【名師解析】：這道題可以直接應(yīng)用斐波那契數(shù)列的遞推規(guī)律，即
因此所求項為
7+11=18
(二)遞推規(guī)律的多種變式
例題2：(2006年北京市大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)生考試第1題)6，7，3，0，3，3，6，9，5，( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】：A。
【名師解析】：這是很別致的一道試題。從形式上看，這個數(shù)列很特殊，不僅給出的已知項達(dá)到了9項之多，而且每一項都是一位數(shù)字，由此可以猜到這個數(shù)列的運(yùn)算規(guī)律。這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
取“ ”的尾數(shù)
由此可知所求項為
取“9+5=14”的尾數(shù)，即4
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將兩項相加之和變?yōu)榱巳∥矓?shù)。
例題3：(2005年國家公務(wù)員考試二卷第30題，2006年廣東省公務(wù)員考試第5題)1，2，2，3，4，6，( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】：C。
【名師解析】：初看這道題容易將題目錯看為一個簡單的等差數(shù)列1，2，3，4，5，6……正是因為存在這樣“先入為主”的觀點，使得這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律被隱藏起來。其實本題的運(yùn)算遞推規(guī)律很簡單。這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
4+6-1=9
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是在兩項相加的基礎(chǔ)之上添加了常數(shù)項，在本題中常數(shù)項為“-1”，在其余題目當(dāng)中，常數(shù)項還可能發(fā)生變化，如變?yōu)椤?SPAN lang=EN-US>+1”、“+2”、“-2”等。
例題4：(2006年北京戶口京外大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)生考試第2題)3，2，8，12，28，( )
A.15 B.32 C.27 D.52
【答案】：D。
【名師解析】：在近幾年的各類公務(wù)員考試中，這種類型的運(yùn)算遞推規(guī)律逐漸增多起來。這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
28+2×12=52
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是在相加的兩項中添加了系數(shù)。有時候添加的系數(shù)是2、3等整數(shù)，可以添加在第一項上，也可以添加在第二項上。有時候添加的系數(shù)較為復(fù)雜，甚至出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)等情況。
例題5：(2005年江蘇省公務(wù)員考試第3題)12，4，8，6，7，( )
A.6 B.6.5 C.7 D.8
【答案】：B。
【名師解析】：從選項中看來，B選項較為特殊，唯有這個選項是一個小數(shù)，由此可以猜得這個數(shù)列的運(yùn)算規(guī)律之中很可能包含“除以2”這個運(yùn)算。這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
1/2(6+7)=6.5
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是兩項相加之后添加了1/2的系數(shù)。
例題6：(2002年國家公務(wù)員考試B類第4題)25，15，10，5，5，( )
A.10 B.5 C.0 D.-5
【答案】：C。
【名師解析】：這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
5-5=0
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計算符號“+”變?yōu)榱恕?SPAN lang=EN-US>-”，由加法運(yùn)算變?yōu)榱藴p法運(yùn)算。但這類數(shù)列可以從后向前觀察，發(fā)現(xiàn)仍然類似于兩兩相加得到第三項的規(guī)律。
例題7：(2006年廣東省公務(wù)員考試第3題)1269，999，900，330，( )
A.190 B.270 C.299 D.1900
【答案】：D。
【名師解析】：在與眾多考生交流中，專家經(jīng)常提及這道題，這道題的運(yùn)算規(guī)律很難發(fā)現(xiàn)。在沒有思路的情況下，專家建議各位考生仍然回到“數(shù)列的三個性質(zhì)”當(dāng)中來尋找突破口。從增減性看來，這個數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，但是遞減快慢沒有規(guī)律;從整除性看來，數(shù)列存在規(guī)律，所有數(shù)字都能夠被3整除。再看選項當(dāng)中，只有B選項能夠被3整除，由此猜測這道題的答案為B選項270。但是細(xì)心的考生也許會發(fā)現(xiàn)，以往所有符合“整除性”規(guī)律的試題，將“猜”出的答案帶入原數(shù)列當(dāng)中通過逐項作差，總能得到簡單的等差或者等比數(shù)列。然而這道題將270帶入原數(shù)列當(dāng)中之后，并不能夠通過逐項作差得到有規(guī)律的數(shù)列。這道題是目前為止唯一一道考過的真題中既不符合增減性又不符合整除性的數(shù)列推理試題。這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
(900-330)10/3=1900
回過頭來思考這道試題，發(fā)現(xiàn)出題人并沒有給出這道試題的關(guān)鍵信息，如果1269之前還有一項則會出現(xiàn)小數(shù)，這樣考生在推理運(yùn)算遞推規(guī)律時就有依可循。
有些考生也許對于“增減性”、“整除性”來判斷選項這個方法產(chǎn)生了懷疑。專家以為，鑒于該種方法對絕大多數(shù)試題適用，而且類似本道例題的如此特殊的運(yùn)算規(guī)律很少見，因此希望考生在實際考試當(dāng)中能夠仍然大膽的利用“整除性”來快速求解，贏得時間。
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計算符號“+”變?yōu)榱恕?SPAN lang=EN-US>-”，由加法運(yùn)算變?yōu)榱藴p法運(yùn)算，同時加入了10/3的系數(shù)。
例題8：(2007年國家公務(wù)員考試第42題)1，3，4，1，9，( )
A.5 B.11 C.14 D.64
【答案】：D。
【名師解析】：有關(guān)專家反復(fù)強(qiáng)調(diào)，在進(jìn)行數(shù)字推理練習(xí)時，一定要對六則運(yùn)算關(guān)系非常熟悉，養(yǎng)成良好的數(shù)字敏感度。如果發(fā)覺這個數(shù)列的第三項4、第四項1、第五項9都是完全平方數(shù)，則運(yùn)算規(guī)律不難推出。這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
(9-1)2=64
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計算符號“+”變?yōu)榱恕?SPAN lang=EN-US>-”，由加法運(yùn)算變?yōu)榱藴p法運(yùn)算，同時添加了平方運(yùn)算。
例題9：(2000年國家公務(wù)員考試第23題，2003年浙江省公務(wù)員考試第6題，2009年國家公務(wù)員考試大綱數(shù)字推理例題)1，2，2，4，( )，32
A.4 B.6 C.8 D.16
【答案】：C。
【名師解析】：這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
2×4=8
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計算符號“+”變?yōu)榱恕啊痢?，由加法運(yùn)算變?yōu)榱顺朔ㄟ\(yùn)算。
例題10：(2005年國家公務(wù)員考試二卷第34題)3，4，6，12，36，( )
A.8 B.72 C.108 D.216
【答案】：D。
【名師解析】：這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
(1/2)×(12×36)=216
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計算符號“+”變?yōu)榱恕啊痢保杉臃ㄟ\(yùn)算變?yōu)榱顺朔ㄟ\(yùn)算，同時加入了1/2系數(shù)。
例題11：(2006年國家公務(wù)員考試一卷第35題)3，7，16，107，( )
A.1707 B.1704 C.1086 D.1072
【答案】：A。
【名師解析】：專家很欣賞這道題，其妙處在于出題人在選項當(dāng)中給出了這道題運(yùn)算遞推規(guī)律的“線索”。通過觀察發(fā)現(xiàn)四個選項都是四位數(shù)，而其之前的選項只是很小的一個三位數(shù)。由三位數(shù)遞推到四位數(shù)的運(yùn)算只能是進(jìn)行乘法運(yùn)算。這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
107×16-5=1707
在最后一步運(yùn)算過程中，可以應(yīng)用“尾數(shù)原則”。
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計算符號“+”變?yōu)榱恕啊痢?，由加法運(yùn)算變?yōu)榱顺朔ㄟ\(yùn)算，同時添加了常數(shù)項“-5”。
例題12：(2007年北京市大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)生公務(wù)員考試第5題)9，6，3/2，4，( )
A.2 B.3/4 C.3 D.3/8
【答案】：D。
【名師解析】：運(yùn)算遞推的兩個數(shù)字之間的運(yùn)算法則為加法、減法、乘法的情況都出現(xiàn)過，那么試題的變化的必然規(guī)律之一就是引入除法運(yùn)算。由于選項當(dāng)中也出現(xiàn)了兩個分?jǐn)?shù)，由此不僅可以肯定正確選項存在于兩個分?jǐn)?shù)選項當(dāng)中，而且可以肯定在運(yùn)算遞推中引入了除法運(yùn)算。這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
(3/2)/4=3/8
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計算符號“+”變?yōu)榱恕啊隆?，由加法運(yùn)算變?yōu)榱顺ㄟ\(yùn)算。但這類數(shù)列可以從后向前觀察，發(fā)現(xiàn)仍然類似于兩兩相乘得到第三項的規(guī)律。
例題13：(2005年國家公務(wù)員考試一卷第34題)1，2，3，7，46，( )
A.2109 B.1289 C.332 D.147
【答案】：A。
【名師解析】：這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律仍然可以從所給項的最后兩項以及選項當(dāng)中獲取“線索”。該數(shù)列的第四項為一個一位數(shù)，而第五項為兩位數(shù)，同時選項當(dāng)中出現(xiàn)了兩個四位數(shù)選項，數(shù)位上的這種變化只能由“平方”或者“立方”運(yùn)算形成。這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
462-7=2109
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計算符號“+”變?yōu)榱恕?SPAN lang=EN-US>-”，由加法運(yùn)算變?yōu)榱藴p法運(yùn)算，同時添加了平方運(yùn)算。
例題14：(2005年國家公務(wù)員考試一卷第30題)0，1，1，2，4，7，13，( )
A.22 B.23 C.24 D.25
【答案】：C。
【名師解析】：已知項有7項，說明該數(shù)列在進(jìn)行遞推時，使用的已知項應(yīng)當(dāng)比較多，由此可以猜出其運(yùn)算遞推規(guī)律。這個數(shù)列從第三項開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項為
13+7+4=24
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的項數(shù)變?yōu)榱巳椣嗉印?SPAN lang=EN-US>
總體來說，運(yùn)算遞推數(shù)列是公務(wù)員考試數(shù)字推理部分的重點和難點，而遞推規(guī)律的變化也是多種多樣，總結(jié)起來無非是兩種變化。一種是在原規(guī)律基礎(chǔ)之上加入常數(shù)項、系數(shù)等;另一種是將原先的加法運(yùn)算更換為減法、乘法、除法運(yùn)算，甚至加入平方、立方運(yùn)算。對于更為復(fù)雜的運(yùn)算遞推數(shù)列，無非是將以上兩種變化方式綜合起來應(yīng)用而已。專家提醒各位考生，要熟練掌握運(yùn)算遞推數(shù)列需要做到兩方面的工作，一方面要應(yīng)用歷年各地真題進(jìn)行高強(qiáng)度練習(xí)，見到的遞推規(guī)律越多，今后碰到類似的遞推規(guī)律越覺得似曾相識;另一方面要對于不會以及做錯的試題耐心地進(jìn)行改正，弄懂所有的遞推規(guī)律。
