三十一，十字相乘法
十字相乘法使用時(shí)要注意幾點(diǎn)：
第一點(diǎn)：用來解決兩者之間的比例關(guān)系問題。
第二點(diǎn)：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。
第三點(diǎn)：總均值放中央，對(duì)角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放對(duì)角線上。
(2007年省考) 某班男生比女生人數(shù)多80%，一次考試后，全班平均成級(jí)為75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，則此班女生的平均分是：
A .84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分
答案：A 分析： 假設(shè)女生的平均成績(jī)?yōu)?/span>X，男生的平均Y。男生與女生的比例是9：5。 男生：Y 9 75 女生：X 5 根據(jù)十字相乘
法原理可以知道 X=84
. (2007年省考).某高校2006 年度畢業(yè)學(xué)生7650 名，比上年度增長(zhǎng)2 % . 其中本科畢業(yè)生比上年度減少2 % . 而研究生畢業(yè)數(shù)量比上年度增加10 % , 那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有：
A .3920 人 B .4410 人 C .4900人 D .5490 人
答案：C 分析：去年畢業(yè)生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。
本科生：-2% 8% 2% 研究生：10% 4%
本科生：研究生=8%：4%=2：1。7500*(2/3)=5000 ，5000*0.98=4900
此方法考試的時(shí)候一定要靈活運(yùn)用
三十二，兔子問題
An=A(n-1)An(n-2)
已知一對(duì)幼兔能在一月內(nèi)長(zhǎng)成一對(duì)成年兔子，一對(duì)成年兔子能在一月內(nèi)生出一對(duì)幼兔。如果現(xiàn)在給你一對(duì)幼兔，問一年后共有多少對(duì)兔子?
解析： 1月:1對(duì)幼兔 2月:1對(duì)成兔 3月;1對(duì)成兔.1對(duì)幼兔 4;2對(duì)成兔.1對(duì)幼兔 5;;3對(duì)成兔.2對(duì)幼兔 6;5對(duì)成兔.3對(duì)幼兔.......
可看出規(guī)律:1,1,2,3,5,8(第三數(shù)是前兩數(shù)之和),可求出第12項(xiàng) 為:13,21,34,55,89,144，
答:有144只兔
三十三，稱重量砝碼最少的問題
例題：要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)砝碼?這些砝碼的重量分別是多少?
析解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡(jiǎn)單的情形開始研究。
(1)稱重1克，只能用一個(gè)1克的砝碼，故1克的一個(gè)砝碼是必須的。
(2)稱重2克，有3種方案：
①增加一個(gè)1克的砝碼;
②用一個(gè)2克的砝碼;
③用一個(gè)3克的砝碼，稱重時(shí)，把一個(gè)1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。
(3)稱重3克，用上面的②③兩個(gè)方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。
(4)稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰?？傊?/span>1克、3克兩個(gè)砝碼就可以稱出(3+1)克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。 (5)接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克時(shí)可以利用 9-(3+1)=5，即用一個(gè)9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克兩個(gè)砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重。而要稱14克時(shí)，按上述規(guī)律增加一個(gè)砝碼，其重為 14+13=27(克)，可以稱到1+3+9+27=40(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重。
總之，砝碼重量為1，3，32，33克時(shí)，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。
三十四，文示圖
紅圈： 球賽。 藍(lán)圈： 電影 綠圈：戲劇。
X表示只喜歡球賽的人; Y表示只喜歡電影的人; Z表示只喜歡戲劇的人
a表示喜歡球賽和電影的人。僅此2項(xiàng)。不喜歡戲劇
b表示喜歡電影和戲劇的人。僅此2項(xiàng)。不喜歡球賽
c表示喜歡球賽和戲劇的人。僅此2項(xiàng) 不喜歡電影。
中間的陰影部分則表示三者都喜歡的。我們用 T表示。
回顧上面的7個(gè)部分。X，y，z，a，b，c，T 都是相互獨(dú)立?；ゲ恢貜?fù)的部分
現(xiàn)在開始對(duì)這些部分規(guī)類。
X+y+z=是只喜歡一項(xiàng)的人 我們叫做 A
a+b+c=是只喜歡2項(xiàng)的人 我們叫做B
T 就是我們所說的三項(xiàng)都喜歡的人
x+a+c+T=是喜歡球賽的人數(shù) 構(gòu)成一個(gè)紅圈
y+a+b+T=是喜歡電影的人數(shù) 構(gòu)成一個(gè)藍(lán)圈
z+b+c+T=是喜歡戲劇的人數(shù) 構(gòu)成一個(gè)綠圈 三個(gè)公式。
(1) A+B+T=總?cè)藬?shù) (2) A+2B+3T=至少喜歡1個(gè)的人數(shù)和 (3) B+3T=至少喜歡2個(gè)的人數(shù)和
例題：學(xué)校教導(dǎo)處對(duì)100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇(但不喜歡看電影)的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇(但不喜歡看球賽)的有4人，三種都喜歡的有12人。
通過這個(gè)題目我們看 因?yàn)槊總€(gè)人都至少喜歡三項(xiàng)中的一項(xiàng)。則我們用三個(gè)圈紅，綠，藍(lán)代表球賽。戲劇、和電影。
A+B+T=100 A+2B+3T=148 T=12
則可以直接計(jì)算只喜歡一項(xiàng)的和只喜歡兩項(xiàng)的 A=64 B=24
典型例題：甲,乙,丙三個(gè)人共解出20道數(shù)學(xué)題,每人都解出了其中的12道題,每道題都有人解出.只有一人解出的題叫做難題, 只有兩人解出的題叫做中等題,三人解出的題叫做容易題,難題比容易題多( )題?
A、6 B、5 C、4 D、3
【解析】第三題需要結(jié)合文氏圖來理解了，畫圖會(huì)很清楚的 我們?cè)O(shè)a表示簡(jiǎn)單題目， b表示中檔題目 c表示難題
a+b+c=20
c+2b+3a=12×3 這個(gè)式子式文氏圖中必須要記住和理解的
將a+b+c=20變成 2a+2b+2c=40 減去 上面的第2個(gè)式子
得到： c-a=4 答案出來了
可能很多人都說這個(gè)方法太耗時(shí)了，的確。在開始使用這樣方法的時(shí)候費(fèi)時(shí)不少。當(dāng)完全了解熟練運(yùn)用a+2b+3c這個(gè)公式時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)再難的題目也不會(huì)超過1分鐘。
三十五，九宮圖問題
此公式只限于奇數(shù)行列
步驟1：按照斜線的順序把數(shù)字按照從小到大的順序，依次斜線填寫!
步驟2： 然后將3×3格以外格子的數(shù)字折翻過來，最左邊的放到最右邊，最右邊的放到最左邊 最上邊的放到最下邊，最下邊的放到最上邊 這樣你再看中間3×3格子的數(shù)字是否已經(jīng)滿足題目的要求了 。
★三十六，用比例法解行程問題
行程問題一直是省家考試中比較重要的一環(huán)，其應(yīng)用之廣恐無及其右者。行程問題的計(jì)算量按照基礎(chǔ)做法不得不說非常大。所以掌握簡(jiǎn)單的方法尤為重要。當(dāng)然簡(jiǎn)單的方法需要對(duì)題目的基礎(chǔ)知識(shí)的全面了掌握和理解。
在細(xì)說之前我們先來了解如下幾個(gè)關(guān)系：
路程為S。速度為V 時(shí)間為T S=VT V=S/T T=S/V
S相同的情況下： V跟T成反比 V相同的情況下： S跟T成正比
T相同的情況下： S跟V成正比 注：比例點(diǎn)數(shù)差也是實(shí)際差值對(duì)應(yīng)的比例! 理解基本概念后，具體題目來分析
例一、甲乙2人分別從相距200千米的AB兩地開車同時(shí)相對(duì)行駛。到達(dá)對(duì)方始發(fā)點(diǎn)后返回行駛，按照這樣的情況，2人第4次相遇時(shí)甲比乙多行了280千米已知甲的速度為60千米每小時(shí)。則乙的速度為多少?
分析：這個(gè)題目算是一個(gè)相遇問題的入門級(jí)的題目。我們先從基礎(chǔ)的方法入手，要多給自己提問 求乙的速度 即要知道乙的行駛路程S乙，乙所花的時(shí)間T乙。這2個(gè)變量都沒有告訴我們，需要我們?nèi)ジ鶕?jù)條件來求出：
乙的行駛路程非常簡(jiǎn)單可以求出來。因?yàn)榧滓夜步?jīng)過4次相遇。希望大家不要嫌我羅嗦。我希望能夠更透徹的把這類型的題目通過圖形更清晰的展現(xiàn)給大家。
第一次相遇情況 A(甲).。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(甲)C(乙)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
B(乙) AC即為第一次相遇，甲行駛的路程。 BC即為乙行駛的路程
則看出 AC+BC=AB 兩者行駛路程之和=S 第2次相遇的情況 A.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(乙)D(甲)。。。。。。C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B
在這個(gè)圖形中，我們從第一次相遇到第2次相遇來看甲從C點(diǎn)開始行駛的路線是C-B-D，其路程是 BC+BD
乙行駛的路線則是C-A-D 其行駛的路程是AC+AD
可以看出第2次相遇兩者的行駛路程之和是BC+BD+AC+AD=(BC+AC)+(BD+AD)=2S ，同理第3，4次相遇都是這樣。則我們發(fā)現(xiàn) 整個(gè)過程中，除第一次相遇是一個(gè)S外。其余3次相遇都是2S?？偮烦淌?/span>2×3S+S=7S
根據(jù)題目，我們得到了行駛路程之和為7×200=1400
因?yàn)榧妆纫叶嘈旭偭?/span>280千米則可以得到乙是(1400-280)÷2=560 則甲是560+280=840 好，現(xiàn)在就剩下乙的行駛時(shí)間的問題了。因?yàn)?/span>
兩個(gè)人的行駛時(shí)間相同則通過計(jì)算甲的時(shí)間得到乙的時(shí)間即 840÷60=14小時(shí)。
所以T乙=14小時(shí)。 那么我就可以求出乙的速度V乙=S乙÷T乙=560÷14=40
說道這里我需要強(qiáng)調(diào)的是，在行程問題中，也可以通過比例來迅速解答題目。
比例求解法： 我們假設(shè)乙的速度是V 則根據(jù)時(shí)間相同，路程比等于速度比，S甲：S乙=V甲：V乙 衍生出如下比例：(S甲+S乙)：(S甲-S乙)=(V甲+V乙)：(V甲-V乙) 得出 1400：280=(60+V)：(60-V)解得 V=40 我的思路：（1400+280）÷2=840，（1400-280）÷2=560，
840:560=60：X，X=40
例二、甲車以每小時(shí)160千米的速度，乙車以每小時(shí)20千米的速度，在長(zhǎng)為210千米的環(huán)形公路上同時(shí)、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車追上乙車一次，甲車減速1/3 ，而乙車則增速1/3 。問：在兩車的速度剛好相等的時(shí)刻，它們共行駛了多少千米? A. 1250 B.940 C. 760 D. 1310
【解析】 我們先來看 需要多少次相遇才能速度相等 160×(2/3)的N次方=20×(4/3)的N次方 N代表了次數(shù) 解得N=3 說明第三次相遇即達(dá)到速度相等
第一次相遇前： 開始時(shí)速度是160：20=8：1 用時(shí)都一樣，則路程之比=速度之比
我們?cè)O(shè)乙行駛了a千米 則 (a+210 ) ： a = 8：1 解得 a=30
第二次相遇前： 速度比是 甲：乙=4：1 用時(shí)都一樣， 則路程之比=速度之比
我們?cè)O(shè)乙從第1次相遇到第2次相遇行駛了b千米 則 (b+210 ) ： b = 4：1 解得 a=70
第三次相遇前：速度比是 甲：乙=2：1 用時(shí)都一樣， 則路程之比=速度之比
我們?cè)O(shè)乙從第2次相遇到第3次相遇行駛了c千米 則 (c+210 ) ： c = 2：1 解得 c=210
則三次乙行駛了 210+70+30=310千米
而甲比乙多出3圈 則甲是 210×3+310=940
則 兩人總和是 940+310=1250
例三、一輛汽車以每小時(shí)40千米的速度從甲城開往乙城，返回時(shí)它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小時(shí)30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的時(shí)間比前往乙城的時(shí)間多用了10分鐘，甲、乙兩城相距多遠(yuǎn)?
【解析】我們知道多出來的10分鐘即1/6小時(shí)是在最后1/4差5千米的路程里產(chǎn)生的 ，則根據(jù)路程相同
速度比等于時(shí)間比的反比
即 T30：T40=40：30=4：3
所以30千米行駛的最后部分是用了 1/6×(4-3)×4=2/3小時(shí)
即路程是30×2/3=20千米 總路程是(20+5)÷1/4=100
例四、甲乙兩人各坐一游艇在湖中劃行,甲搖漿10次時(shí)乙搖漿8次,而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程,現(xiàn)甲先搖漿4次,則乙搖漿多少次才能追上? A. 14 B.16 C.112 D.124
【解析】 甲搖漿10次時(shí)乙搖漿8次 知道甲乙速度之比=5：4
而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程 則可以得到每漿得距離之比是甲：乙=7：9
所以，我們來看 相同時(shí)間內(nèi)甲乙得距離之比，5×7：4×9=35：36
說明，乙比甲多出1個(gè)比例單位
現(xiàn)在甲先劃槳4次， 每漿距離是7個(gè)單位，乙每漿就是9個(gè)單位， 所以甲領(lǐng)先乙是4×7=28個(gè)單位 ，事實(shí)上乙每4漿才能追上36-35=1個(gè)單位， 說明28個(gè)單位需要28×4=112漿次追上! 選C。
例五、甲乙兩個(gè)工程隊(duì)共100人,如果抽調(diào)甲隊(duì)人的1/4至乙隊(duì),則乙隊(duì)比甲隊(duì)多了2/9,問甲隊(duì)原來多少人?
這個(gè)題目其實(shí)也很簡(jiǎn)單，下面我說一個(gè)簡(jiǎn)單方法
【解析】 根據(jù)條件乙隊(duì)比甲隊(duì)多了2/9 我們假設(shè)甲隊(duì)是單位1，則乙隊(duì)就是1+2/9=11/9 ，100人的總數(shù)不變
可見 甲乙總數(shù)是1+11/9=20/9 (分母不看)
則100人被分成20分 即甲是100÷20×9=45 乙是 55
因?yàn)閺募钻?duì)掉走1/4 則剩下的是3/4 算出原來甲隊(duì)是 45÷3/4=60
★三十七，計(jì)算錯(cuò)對(duì)題的獨(dú)特技巧
例題：某次考試有30道判斷題，每做對(duì)一道題得4分，不做的不得分，做錯(cuò)一道題倒扣2分，小明得分是96分，并且小明有題目沒做，則小明答對(duì)了幾道試題( )
A 28 B 27 C 26 D 25
答案：D
我們把一個(gè)答錯(cuò)的和一個(gè)不答的題目看成一組，則一組題目被扣分是6+4=10，
解釋一下6跟4的來源，
6是做錯(cuò)了，不但得不到4分，還被倒扣2分 這樣里外就差4+2=6分，
4是不答題，只被扣4分，不倒扣分，這兩種扣分的情況看作一組，目前被扣了30×4-96=24分，
則說明 24÷10=2組，余數(shù)是4，這表明2組還多出1個(gè)沒有答的題目，
則表明，不答的題目是2+1=3題，答錯(cuò)的是2題
三十八，票價(jià)與票值的區(qū)別
票價(jià)是P( 2，M) 是排列 票值是C(2，M)
三十九，兩數(shù)之間個(gè)位和十位相同的個(gè)數(shù)
1217到2792之間有多少個(gè)位數(shù)和十位數(shù)相同的數(shù)?
從第一個(gè)滿足條件的數(shù)開始每個(gè)滿足條件的數(shù)之間都是相差11
方法一：看整數(shù)部分1217～2792
先看1220～2790 相差1570 則有這樣規(guī)律的數(shù)是1570÷10=157個(gè)
由于這樣的關(guān)系 我總結(jié)了一個(gè)方法 給大家提供一個(gè)全新的思路
方法二：我們先求兩數(shù)差值 2792-1217=1575 1575中有多少11呢 1575÷11=143 余數(shù)是2
我們還得對(duì)結(jié)果再次除以11 直到所得的商小于11為止
商+余數(shù)再除以11 (143+2)÷11=13 余數(shù)是2 (13+2)÷11=1 因?yàn)樯桃呀?jīng)小于11，所以余數(shù)不管
則我們就可以得到個(gè)數(shù)應(yīng)該是143+13+1=157
不過這樣的方法不是絕對(duì)精確的，考慮到起始數(shù)字和末尾數(shù)字的關(guān)系。 誤差應(yīng)該會(huì)在1之間!不過對(duì)于考公務(wù)員來說 誤差為1 已經(jīng)可以找到答案了!
四十，擱兩人握手問題
某個(gè)班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個(gè)圈，每個(gè)人都不能跟相鄰的2個(gè)人握手，整個(gè)游戲一共握手152次， 請(qǐng)問這個(gè)班的同學(xué)有( )人 A、16 B、17 C、18 D、19
【解析】此題看上去是一個(gè)排列組合題，但是卻是使用的對(duì)角線的原理在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人 則Cx取3=152 但是在計(jì)算X時(shí)卻是相當(dāng)?shù)穆闊?/span> 我們仔細(xì)來分析該題目。以某個(gè)人為研究對(duì)象。則這個(gè)人需要握x-3次手。每個(gè)人都是這樣。則總共握了x×(x-3)次手。但是沒2個(gè)人之間的握手都重復(fù)計(jì)算了1次。則實(shí)際握手次數(shù)是x×(x-3)÷2=152 計(jì)算的x=19人
