三十一，十字相乘法 

十字相乘法使用時要注意幾點(diǎn)：        

第一點(diǎn)：用來解決兩者之間的比例關(guān)系問題。  

第二點(diǎn)：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。       

第三點(diǎn)：總均值放中央，對角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放對角線上。       

(2007年省考) 某班男生比女生人數(shù)多80%，一次考試后，全班平均成級為75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，則此班女生的平均分是：  

A .84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分

答案：A        分析： 假設(shè)女生的平均成績?yōu)?/span>X，男生的平均Y。男生與女生的比例是9：5。   男生：Y 9   75        女生：X 5        根據(jù)十字相乘

法原理可以知道   X=84  

. (2007年省考).某高校2006 年度畢業(yè)學(xué)生7650 名，比上年度增長2 % . 其中本科畢業(yè)生比上年度減少2 % . 而研究生畢業(yè)數(shù)量比上年度增加10 % , 那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有： 

 A .3920 人 B .4410 人 C .4900人 D .5490 人  

答案：C   分析：去年畢業(yè)生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。

本科生：-2% 8%   2%        研究生：10% 4%       

本科生：研究生=8%：4%=2：1。7500*(2/3)=5000 ，5000*0.98=4900       

此方法考試的時候一定要靈活運(yùn)用  

三十二，兔子問題 

 An=A(n-1)An(n-2)       

已知一對幼兔能在一月內(nèi)長成一對成年兔子，一對成年兔子能在一月內(nèi)生出一對幼兔。如果現(xiàn)在給你一對幼兔，問一年后共有多少對兔子?

 解析：  1月:1對幼兔   2月:1對成兔        3月;1對成兔.1對幼兔   4;2對成兔.1對幼兔   5;;3對成兔.2對幼兔   6;5對成兔.3對幼兔.......       

可看出規(guī)律:1,1,2,3,5,8(第三數(shù)是前兩數(shù)之和),可求出第12項   為:13,21,34,55,89,144，

答:有144只兔  

三十三，稱重量砝碼最少的問題       

例題：要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個砝碼?這些砝碼的重量分別是多少?       

析解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究。  

(1)稱重1克，只能用一個1克的砝碼，故1克的一個砝碼是必須的。  

(2)稱重2克，有3種方案：

①增加一個1克的砝碼;  

②用一個2克的砝碼;

③用一個3克的砝碼，稱重時，把一個1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。  

(3)稱重3克，用上面的②③兩個方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。  

(4)稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰。總之，用1克、3克兩個砝碼就可以稱出(3+1)克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。 (5)接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克時可以利用        9-(3+1)=5，即用一個9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克兩個砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重。而要稱14克時，按上述規(guī)律增加一個砝碼，其重為   14+13=27(克)，可以稱到1+3+9+27=40(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重。       

總之，砝碼重量為1，3，32，33克時，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。  

三十四，文示圖       

紅圈： 球賽。 藍(lán)圈： 電影 綠圈：戲劇。       

X表示只喜歡球賽的人; Y表示只喜歡電影的人; Z表示只喜歡戲劇的人  

a表示喜歡球賽和電影的人。僅此2項。不喜歡戲劇  

b表示喜歡電影和戲劇的人。僅此2項。不喜歡球賽  

c表示喜歡球賽和戲劇的人。僅此2項 不喜歡電影。  

中間的陰影部分則表示三者都喜歡的。我們用 T表示。       

回顧上面的7個部分。X，y，z，a，b，c，T 都是相互獨(dú)立?；ゲ恢貜?fù)的部分  

現(xiàn)在開始對這些部分規(guī)類。       

X+y+z=是只喜歡一項的人 我們叫做 A  

a+b+c=是只喜歡2項的人 我們叫做B  

T 就是我們所說的三項都喜歡的人       

x+a+c+T=是喜歡球賽的人數(shù) 構(gòu)成一個紅圈  

y+a+b+T=是喜歡電影的人數(shù) 構(gòu)成一個藍(lán)圈  

z+b+c+T=是喜歡戲劇的人數(shù) 構(gòu)成一個綠圈   三個公式。       

(1) A+B+T=總?cè)藬?shù)        (2) A+2B+3T=至少喜歡1個的人數(shù)和   (3) B+3T=至少喜歡2個的人數(shù)和       

例題：學(xué)校教導(dǎo)處對100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇(但不喜歡看電影)的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇(但不喜歡看球賽)的有4人，三種都喜歡的有12人。  

通過這個題目我們看 因為每個人都至少喜歡三項中的一項。則我們用三個圈紅，綠，藍(lán)代表球賽。戲劇、和電影。       

A+B+T=100 A+2B+3T=148 T=12       

則可以直接計算只喜歡一項的和只喜歡兩項的   A=64 B=24       

典型例題：甲,乙,丙三個人共解出20道數(shù)學(xué)題,每人都解出了其中的12道題,每道題都有人解出.只有一人解出的題叫做難題, 只有兩人解出的題叫做中等題,三人解出的題叫做容易題,難題比容易題多( )題?       

A、6 B、5 C、4 D、3       

【解析】第三題需要結(jié)合文氏圖來理解了，畫圖會很清楚的   我們設(shè)a表示簡單題目， b表示中檔題目 c表示難題  

a+b+c=20

c+2b+3a=12×3 這個式子式文氏圖中必須要記住和理解的  

將a+b+c=20變成 2a+2b+2c=40 減去 上面的第2個式子  

得到： c-a=4 答案出來了       

可能很多人都說這個方法太耗時了，的確。在開始使用這樣方法的時候費(fèi)時不少。當(dāng)完全了解熟練運(yùn)用a+2b+3c這個公式時，你會發(fā)現(xiàn)再難的題目也不會超過1分鐘。  

三十五，九宮圖問題  

此公式只限于奇數(shù)行列       

步驟1：按照斜線的順序把數(shù)字按照從小到大的順序，依次斜線填寫!  

步驟2： 然后將3×3格以外格子的數(shù)字折翻過來，最左邊的放到最右邊，最右邊的放到最左邊   最上邊的放到最下邊，最下邊的放到最上邊   這樣你再看中間3×3格子的數(shù)字是否已經(jīng)滿足題目的要求了 。

★三十六，用比例法解行程問題       

行程問題一直是省家考試中比較重要的一環(huán)，其應(yīng)用之廣恐無及其右者。行程問題的計算量按照基礎(chǔ)做法不得不說非常大。所以掌握簡單的方法尤為重要。當(dāng)然簡單的方法需要對題目的基礎(chǔ)知識的全面了掌握和理解。       

在細(xì)說之前我們先來了解如下幾個關(guān)系：  

路程為S。速度為V 時間為T   S=VT V=S/T T=S/V       

S相同的情況下： V跟T成反比   V相同的情況下： S跟T成正比  

T相同的情況下： S跟V成正比        注：比例點(diǎn)數(shù)差也是實際差值對應(yīng)的比例! 理解基本概念后，具體題目來分析 

例一、甲乙2人分別從相距200千米的AB兩地開車同時相對行駛。到達(dá)對方始發(fā)點(diǎn)后返回行駛，按照這樣的情況，2人第4次相遇時甲比乙多行了280千米已知甲的速度為60千米每小時。則乙的速度為多少?

分析：這個題目算是一個相遇問題的入門級的題目。我們先從基礎(chǔ)的方法入手，要多給自己提問 求乙的速度 即要知道乙的行駛路程S乙，乙所花的時間T乙。這2個變量都沒有告訴我們，需要我們?nèi)ジ鶕?jù)條件來求出：       

乙的行駛路程非常簡單可以求出來。因為甲乙共經(jīng)過4次相遇。希望大家不要嫌我羅嗦。我希望能夠更透徹的把這類型的題目通過圖形更清晰的展現(xiàn)給大家。  

第一次相遇情況   A(甲).。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(甲)C(乙)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

B(乙)   AC即為第一次相遇，甲行駛的路程。 BC即為乙行駛的路程 

則看出 AC+BC=AB 兩者行駛路程之和=S   第2次相遇的情況   A.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(乙)D(甲)。。。。。。C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B       

在這個圖形中，我們從第一次相遇到第2次相遇來看甲從C點(diǎn)開始行駛的路線是C-B-D，其路程是 BC+BD       

乙行駛的路線則是C-A-D 其行駛的路程是AC+AD       

可以看出第2次相遇兩者的行駛路程之和是BC+BD+AC+AD=(BC+AC)+(BD+AD)=2S ，同理第3，4次相遇都是這樣。則我們發(fā)現(xiàn) 整個過程中，除第一次相遇是一個S外。其余3次相遇都是2S?？偮烦淌?/span>2×3S+S=7S  

根據(jù)題目，我們得到了行駛路程之和為7×200=1400  

因為甲比乙多行駛了280千米則可以得到乙是(1400-280)÷2=560 則甲是560+280=840   好，現(xiàn)在就剩下乙的行駛時間的問題了。因為

兩個人的行駛時間相同則通過計算甲的時間得到乙的時間即 840÷60=14小時。       

所以T乙=14小時。 那么我就可以求出乙的速度V乙=S乙÷T乙=560÷14=40  

說道這里我需要強(qiáng)調(diào)的是，在行程問題中，也可以通過比例來迅速解答題目。  

比例求解法：        我們假設(shè)乙的速度是V 則根據(jù)時間相同，路程比等于速度比，S甲：S乙=V甲：V乙 衍生出如下比例：(S甲+S乙)：(S甲-S乙)=(V甲+V乙)：(V甲-V乙)  得出 1400：280=(60+V)：(60-V)解得 V=40 我的思路：（1400+280）÷2=840，（1400-280）÷2=560，                     

840:560=60：X，X=40       

例二、甲車以每小時160千米的速度，乙車以每小時20千米的速度，在長為210千米的環(huán)形公路上同時、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車追上乙車一次，甲車減速1/3 ，而乙車則增速1/3 。問：在兩車的速度剛好相等的時刻，它們共行駛了多少千米?   A. 1250 B.940 C. 760 D. 1310       

【解析】 我們先來看 需要多少次相遇才能速度相等   160×(2/3)的N次方=20×(4/3)的N次方 N代表了次數(shù) 解得N=3 說明第三次相遇即達(dá)到速度相等

第一次相遇前： 開始時速度是160：20=8：1 用時都一樣，則路程之比=速度之比  

我們設(shè)乙行駛了a千米 則 (a+210 ) ： a = 8：1 解得 a=30       

第二次相遇前： 速度比是 甲：乙=4：1 用時都一樣， 則路程之比=速度之比       

我們設(shè)乙從第1次相遇到第2次相遇行駛了b千米 則 (b+210 ) ： b = 4：1 解得 a=70  

第三次相遇前：速度比是 甲：乙=2：1 用時都一樣， 則路程之比=速度之比       

我們設(shè)乙從第2次相遇到第3次相遇行駛了c千米 則 (c+210 ) ： c = 2：1 解得 c=210  

則三次乙行駛了 210+70+30=310千米  

而甲比乙多出3圈 則甲是 210×3+310=940  

則 兩人總和是 940+310=1250  

例三、一輛汽車以每小時40千米的速度從甲城開往乙城，返回時它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小時30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的時間比前往乙城的時間多用了10分鐘，甲、乙兩城相距多遠(yuǎn)?       

【解析】我們知道多出來的10分鐘即1/6小時是在最后1/4差5千米的路程里產(chǎn)生的 ，則根據(jù)路程相同       

速度比等于時間比的反比  

即 T30：T40=40：30=4：3       

所以30千米行駛的最后部分是用了 1/6×(4-3)×4=2/3小時

即路程是30×2/3=20千米   總路程是(20+5)÷1/4=100       

例四、甲乙兩人各坐一游艇在湖中劃行,甲搖漿10次時乙搖漿8次,而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程,現(xiàn)甲先搖漿4次,則乙搖漿多少次才能追上?   A. 14 B.16 C.112 D.124       

【解析】 甲搖漿10次時乙搖漿8次 知道甲乙速度之比=5：4       

而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程 則可以得到每漿得距離之比是甲：乙=7：9       

所以，我們來看 相同時間內(nèi)甲乙得距離之比，5×7：4×9=35：36  

說明，乙比甲多出1個比例單位       

現(xiàn)在甲先劃槳4次， 每漿距離是7個單位，乙每漿就是9個單位， 所以甲領(lǐng)先乙是4×7=28個單位 ，事實上乙每4漿才能追上36-35=1個單位，   說明28個單位需要28×4=112漿次追上! 選C。

例五、甲乙兩個工程隊共100人,如果抽調(diào)甲隊人的1/4至乙隊,則乙隊比甲隊多了2/9,問甲隊原來多少人? 

這個題目其實也很簡單，下面我說一個簡單方法 

【解析】 根據(jù)條件乙隊比甲隊多了2/9 我們假設(shè)甲隊是單位1，則乙隊就是1+2/9=11/9 ，100人的總數(shù)不變 

可見 甲乙總數(shù)是1+11/9=20/9 (分母不看)       

則100人被分成20分 即甲是100÷20×9=45 乙是 55 

因為從甲隊掉走1/4 則剩下的是3/4 算出原來甲隊是 45÷3/4=60       

★三十七，計算錯對題的獨(dú)特技巧 

例題：某次考試有30道判斷題，每做對一道題得4分，不做的不得分，做錯一道題倒扣2分，小明得分是96分，并且小明有題目沒做，則小明答對了幾道試題( ) 

A 28       B 27       C 26       D 25 

答案：D 

我們把一個答錯的和一個不答的題目看成一組，則一組題目被扣分是6+4=10，       

解釋一下6跟4的來源， 

 6是做錯了，不但得不到4分，還被倒扣2分 這樣里外就差4+2=6分，  

 4是不答題，只被扣4分，不倒扣分，這兩種扣分的情況看作一組，目前被扣了30×4-96=24分，       

則說明 24÷10=2組，余數(shù)是4，這表明2組還多出1個沒有答的題目，       

則表明，不答的題目是2+1=3題，答錯的是2題       

三十八，票價與票值的區(qū)別 

票價是P( 2，M) 是排列 票值是C(2，M)       

三十九，兩數(shù)之間個位和十位相同的個數(shù) 

1217到2792之間有多少個位數(shù)和十位數(shù)相同的數(shù)? 

從第一個滿足條件的數(shù)開始每個滿足條件的數(shù)之間都是相差11       

方法一：看整數(shù)部分1217～2792 

先看1220～2790 相差1570 則有這樣規(guī)律的數(shù)是1570÷10=157個       

由于這樣的關(guān)系 我總結(jié)了一個方法 給大家提供一個全新的思路       

方法二：我們先求兩數(shù)差值 2792-1217=1575       1575中有多少11呢 1575÷11=143 余數(shù)是2 

我們還得對結(jié)果再次除以11 直到所得的商小于11為止       

商+余數(shù)再除以11       (143+2)÷11=13 余數(shù)是2       (13+2)÷11=1 因為商已經(jīng)小于11，所以余數(shù)不管       

則我們就可以得到個數(shù)應(yīng)該是143+13+1=157 

不過這樣的方法不是絕對精確的，考慮到起始數(shù)字和末尾數(shù)字的關(guān)系。 誤差應(yīng)該會在1之間!不過對于考公務(wù)員來說 誤差為1 已經(jīng)可以找到答案了!  

四十，擱兩人握手問題 

  某個班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個圈，每個人都不能跟相鄰的2個人握手，整個游戲一共握手152次， 請問這個班的同學(xué)有( )人       A、16 B、17 C、18 D、19 

【解析】此題看上去是一個排列組合題，但是卻是使用的對角線的原理在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人 則Cx取3=152 但是在計算X時卻是相當(dāng)?shù)穆闊?/span> 我們仔細(xì)來分析該題目。以某個人為研究對象。則這個人需要握x-3次手。每個人都是這樣。則總共握了x×(x-3)次手。但是沒2個人之間的握手都重復(fù)計算了1次。則實際握手次數(shù)是x×(x-3)÷2=152 計算的x=19人